From Gossip@caterpillar

Algorithm Gossip: 約瑟夫問題（Josephus Problem）

說明

據說著名猶太歷史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。

然而Josephus 和他的朋友並不想遵從，Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

解法

約瑟夫問題可用代數分析來求解，將這個問題擴大好了，假設現在您與m個朋友不幸參與了這個遊戲，您要如何保護您與您的朋友？只要畫兩個圓圈就可以讓自己與朋友免於死亡遊戲，這兩個圓圈內圈是排列順序，而外圈是自殺順序，如下圖所示：

使用程式來求解的話，只要將陣列當作環狀來處理就可以了，在陣列中由計數1開始，每找到三個無資料區就填入一個計數，直而計數達41為止，然後將陣列由索引1開始列出，就可以得知每個位置的自殺順序，這就是約瑟夫排列，41個人而報數3的約琴夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23

由上可知，最後一個自殺的是在第31個位置，而倒數第二個自殺的要排在第16個位置，之前的人都死光了，所以他們也就不知道約琴夫與他的朋友並沒有遵守遊戲規則了。

實作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 41 
#define M 3 

int main(void) { 
    int man[N] = {0}; 
    int count = 1; 
    int i = 0, pos = -1; 
    int alive = 0; 

    while(count <= N) { 
        do { 
            pos = (pos+1) % N;  // 環狀處理 
            if(man[pos] == 0) 
                i++; 

            if(i == M) {  // 報數為3了 
                i = 0; 
                break; 
            } 
        } while(1); 

        man[pos] = count; 
        count++; 
    } 

    printf("\n約琴夫排列："); 
    for(i = 0; i < N; i++) 
        printf("%d ", man[i]); 

    printf("\n\n您想要救多少人？"); 
    scanf("%d", &alive); 

    printf("\nL表示這%d人要放的位置：\n", alive); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        if(man[i] > alive) 
            printf("D"); 
        else 
            printf("L"); 

        if((i+1) % 5 == 0) 
            printf("  "); 
    } 
    printf("\n"); 

    return 0; 
}

Java

public class Josephus {
    public static int[] arrayOfJosephus(
                               int number, int per) {
        int[] man = new int[number]; 

        for(int count = 1, i = 0, pos = -1; 
                count <= number; count++) { 
            do { 
                pos = (pos+1) % number;  // 環狀處理 
                if(man[pos] == 0) 
                    i++; 

                if(i == per) {  // 報數為3了 
                    i = 0; 
                    break; 
                } 
            } while(true); 

            man[pos] = count; 
        } 
        
        return man;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] man = Josephus.arrayOfJosephus(41, 3);
        int alive = 3;
        
        System.out.println("約琴夫排列："); 
        for(int i = 0; i < 41; i++) 
            System.out.print(man[i] + " "); 


        System.out.println("\nL表示3個存活的人要放的位置："); 
        for(int i = 0; i < 41; i++) { 
            if(man[i] > alive) 
                System.out.print("D"); 
            else 
                System.out.print("L"); 

            if((i+1) % 5 == 0) 
                System.out.print("  "); 
        } 

        System.out.println();
    }
}