From Gossip@caterpillar

Algorithm Gossip: Eratosthenes篩選求質數

說明

除了自身之外，無法被其它整數整除的數稱之為質數，要求質數很簡單，但如何快速的求出質數則一直是程式設計人員與數學家努力的課題，在這邊介紹一個著名的 Eratosthenes求質數方法。

解法

首先知道這個問題可以使用迴圈來求解，將一個指定的數除以所有小於它的數，若可以整除就不是質數，然而如何減少迴圈的檢查次數？如何求出小於N的所有質數？

首先假設要檢查的數是N好了，則事實上只要檢查至N的開根號就可以了，道理很簡單，假設A*B = N，如果A大於N的開根號，則事實上在小於A之前的檢查就可以先檢查到B這個數可以整除N。不過在程式中使用開根號會精確度的問題，所以可以使用 i*i <= N進行檢查，且執行更快。

再來假設有一個篩子存放1～N，例如：
2　3　4　5　6　7　8　9　10　11　12　13　14　15　16　17　18　19　20　21 ........ N

先將2的倍數篩去：
2　3　5　7　9　11　13　15　17　19　21 ........ N

再將3的倍數篩去：
2　3　5　7　11　13　17　19　........ N

再來將5的倍數篩去，再來將7的質數篩去，再來將11的倍數篩去........，如此進行到最後留下的數就都是質數，這就是Eratosthenes篩選方法（Eratosthenes Sieve Method）。

檢查的次數還可以再減少，事實上，只要檢查6n+1與6n+5就可以了，也就是直接跳過2與3的倍數，使得程式中的if的檢查動作可以減少。

實作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 

#define N 1000 

int main(void) { 
    int i, j; 
    int prime[N+1]; 

    for(i = 2; i <= N; i++) 
        prime[i] = 1; 

    for(i = 2; i*i <= N; i++) { // 這邊可以改進 
        if(prime[i] == 1) { 
            for(j = 2*i; j <= N; j++) { 
                if(j % i == 0) 
                    prime[j] = 0; 
            } 
        } 
    } 

    for(i = 2; i < N; i++) { 
        if(prime[i] == 1) { 
            printf("%4d ", i); 
            if(i % 16 == 0) 
                printf("\n"); 
        } 
    } 

    printf("\n"); 

    return 0; 
} 

import java.util.*;

public class Prime {    
    public static int[] findPrimes(final int max) { 
        int[] prime = new int[max+1]; 
        ArrayList list = new ArrayList();

        for(int i = 2; i <= max; i++) 
            prime[i] = 1; 

        for(int i = 2; i*i <= max; i++) { // 這邊可以改進 
            if(prime[i] == 1) { 
                for(int j = 2*i; j <= max; j++) { 
                    if(j % i == 0) 
                        prime[j] = 0; 
                } 
            } 
        } 

        for(int i = 2; i < max; i++) { 
            if(prime[i] == 1) { 
                list.add(new Integer(i)); 
            } 
        }
        
        int[] p = new int[list.size()];
        Object[] objs = list.toArray(); 
        for(int i = 0; i < p.length; i++) {
            p[i] = ((Integer) objs[i]).intValue();
        }
        
        return p;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] prime = Prime.findPrimes(1000);
        
        for(int i = 0; i < prime.length; i++) {
            System.out.print(prime[i] + " ");
        }
        
        System.out.println();
    }
}